一张单位方格纸上，多边形的面积S和内部格点数目n、多边形边界上的格点数目m的关系：S=n+m/2-1。这个公式是皮克在1899年给出的，被称为皮克定理。如下图，多边形内部点数为9，边界点数为7，则其面积为9+7/2-1=11.5
验证一下，上图多边形面积可以用图中黄色矩形面积减去4个直角三角形面积，即4x5-4x2/2-2x1/2-2x3/2-1x1/2=11.5。
验证推导
所有简单多边形都可切割为一个三角形和另一个简单多边形。考虑一个简单多边形P，及跟P有一条共同边的三角形T。若P符合皮定理，则只要证明P加上T的PT亦符合皮克定理以及三角形符合皮克定理即可。
对于多边形，设多边形P和三角形T的共同边上有a个格点，如下图。
P的面积为：nP+(m/2)P-1，T的面积：nT+mT/2-1。下面来求组合图形PT的面积，图中红蓝各半的是PT的边界，容易知道组合后PT的内部点相较于nP+nT增加了边界上的共同点数目减去两边各一个边界点，即nP+nT+a-2，PT的边界点相当于减掉2a再加上边界处的2个点，即mP+mT-2a+2。则PT的面积为：nP+nT+a-2+(mP+mT-2a+2)/2=nPT+mPT-1。
对于矩形R，如下图。设其边长分别为x、y，易得其内部格点数为(x-1)(y-1)，边界格点数为2x+2y，矩形面积=nR+mR/2-1=(x-1)(y-1)+(2x+2y)/2-1=xy。
对于直角三角形RT，分两种情况，一般RT三角形和等腰RT三角形。对于一般RT三角形，其斜边上无格点，设两直角边为x、y，则内部格点数为(x-1)(y-1)/2，边界格点数为x+y+1，三角形面积=nRT+mRT/2-1=(x-1)(y-1)/2+(x+y+1))/2-1=xy/2。
对于等腰RT三角形，设直角边为x，则所有格点数为(x+1)(x+2)/2，边界格点数为3x，内部格点数为(x+1)(x+2)/2-3x=(x^2-3x+2)/2，三角形面积=nRT+mRT/2-1=(x^2-3x+2)/2+3x/2-1=x^2/2。
对于任意三角形，由于任意三角形都可以与三个直角三角形组成一个矩形，如下图，显然只有当这个任意三角形也符合皮克定理的时候，才会使得在直角三角形符合的同时，矩形也符合。
总结
上边介绍的都是凸的图形，其实凹的图形也符合皮克定理，如下图左侧的图形，但是交叉图形不符合，如下图右侧的图形。
另外，皮克定理并不能推广到三维空间，即无法通过多面体内格点数和边界格点数求多面体体积。