20241207论文阅读笔记 - Ito随机微分公式及其他
目录：
- Ito微分公式详解
- 随机控制的李雅普诺夫函数为啥是4次方
- 布朗运动的数学表达式
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正文：
1）Ito微分公式详解
1. **伊藤微分公式（Ito's Lemma）**
- 设X(t)是一个伊藤过程，满足随机微分方程
- 设Y = f(t,X(t))，其中f(t,X(t))是一个二次连续可微的函数（关于t一次可微，关于X(t)二次可微）。那么Y也是一个随机过程，并且Y满足以下的伊藤微分公式：
- 首先，利用泰勒展开式对Y(t +△t)-Y(t)进行展开。
- 因为X(t)是伊藤过程，所以
其中 △B(t)=B(t+△t)-B(t) 是布朗运动在 [t,t+△t] 上的增量，且△B(t)~N(0,△t) 。
- 将 X(t+△t)-X(t) 的表达式代入Y(t+△t)-Y(t) 的泰勒展开式中，然后取极限△t→0来得到伊藤微分公式。
- **证明过程**
- 对 Y = f(t,X(t)) 在 (t,X(t)) 处进行泰勒展开：
- 因为 X(t) 是伊藤过程，
所以在小时间间隔△t内有：
- 其中△B(t) 是布朗运动的增量，△B(t)~N(0,△t) ，所以
- 将 X(t+△t)-X(t) 代入Y(t+△t)-Y(t) 的展开式中：
展开并整理上式，忽略高阶无穷小 (o(△t))：
- 令△t→0，得到伊藤微分公式：
注解：
- Ito微分公式本质上是二元函数的泰勒公式，并且只包含△t的同阶项，忽略△t的高阶项。但是为什么又包含(△B(t))的二阶项呢？因为根据布朗运动的性质，，所以(△B(t))的二阶项是△t的同阶项，△B(t) 是△t的低阶项，都不能忽略。而展开式中包含的项都是△t的高阶项，因而都被忽略。例如△t△B(t)=△t的1.5次方, o(△t)△B(t)=△t的2.5次方, 都是△t的高阶项。
- 布朗运动连续但不可导，没有导数但是有微分。因此伊藤微分方程的形式就是方程两边都是微分，而不是导数。这对于习惯了导数形式的微分方程的我们是个难点。而最大的难点是怎么处理布朗运动的随机项。一般是对伊藤微分方程两边取数学期望，根据布朗运动的微分的数学期望为零消掉布朗运动这一项。即EdB(t)=0 .
- 向量形式的伊藤微分公式。我们常用的是向量形式的公式：
这里Tr 表示矩阵的迹(Trace). 其中
根据矩阵乘法规则：“被乘数”列数=“乘数”行数，所以Tr里的第一个σ函数要转置。
矩阵的迹的定 义：对角线元素之和。迹的性质：1.等于全部特征值之和 2.乘积次序颠倒后迹的值不变。即Tr(A*B)=Tr(B*A).
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2）随机控制的李雅普诺夫函数为啥是4次方
答：对于多变量，或非线性控制系统的稳定性分析一般用李雅普诺夫函数（V函数）。
(a) 先说明V函数用2次方是不行的。
设系统方程为
其中w(t)是布朗运动，u(t)是控制输入。
设计
特别提醒：对于随机系统，分部求导公式不成立只有泰勒公式成立，必须用伊藤微分公式求微分。即此处是不成立的是错的。因为分部求导公式就是根据泰勒公式忽略高阶无穷小项后得到的。而我们已经证明随机系统微分包含dw(t)的二阶导数项。
因此，由伊藤微分公式得
两边取数学期望，得
可见当x(t)=0时 V的导数大于0，即x(t)增大。这表明x=0不是系统的平衡点，不符合控制要求。
因此V函数用2次方是不行的。
（b）再说明V函数用4次方是可行的。
设计
因此，由伊藤微分公式得
两边取数学期望，得
可见当x(t)=0时 V的导数=0，即x(t)保持不变。这表明x=0是系统的平衡点，符合控制要求。
回答完毕。
特别注解：这里我们往往被习惯迷惑，觉得就应该 dx^2=xdx, 觉得分部微分公式天经地义，是最基础的第一性原理。但是实际上当x是伊藤随机过程时，分部微分公式是不成立的。只有泰勒展开公式才是第一性原理。示意图如下：
设V=f(x,y), 分部微分公式 dV=f’_xdx+f’_ydy . 微分即为黄色部分。忽略高阶无穷小项(黑色部分)。但是当黑色部分不是高阶项时不能省略。比如伊藤微分公式里，(dx)^2不是高阶无穷小不能省略。
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3) 布朗运动的数学表达式
参考文献
- 豆包APP. Ito微分公式
- 豆包APP. 布朗运动的数学表达式
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