高观点下的初等数学（5）

原创 林根数学 林根数学 今天

关于二次曲线系，有下面的定理：

定理如果已知两直线Li≡aix +biy+ci=0(i=1,2)和一条二次曲线f(x,y)=0，那么含有一个参数λ的方程

f(x,y)+λL?L?=0，①

是表示经过两直线与二次曲线的交点的二次曲线系。

证明： 因为直线Li=0(i=1，2)与二次曲线f(x,y)=0的交点坐标满足式①,所以曲线①过它们的交点，又方程①的次数不大于二次，所以，它是单参数二次曲线系。

利用二次曲线系解高考题或竞赛题，有时殊为方便：

20.（2020全国1）已知A、B分别为椭圆E： x2/a2+y2=1 （a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，

P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．

（1）求E的方程；

（2）证明：直线CD过定点.

【详解】（1）依据题意作出如下图象：

（2）证明：设P(6,y0)，，则直线AP的方程为：

即：

联立直线AP的方程与椭圆方程可得：

整理得：

另解(林根数学)：

(2) 设CD与x轴的交点为(m,0),将坐标系平原点平移到Q,则椭圆E:

并设直线CD:y=kx,则过A，C，B，D的二次曲线系方程为

令x=0,可见yM+yN=0,③

坐标系平移回去，③仍成立。

在原坐标系中，设P(6,n),由直线PA方程

令x=m,得

同理得

④+⑤结合③，得m=3/2.证毕。

谢谢阅读!

更多内容,请关注“林根数学”微信公众号:

林根数学，专注初高中数学辅导，全国清北自主招生讲座巡讲上百场，使一大批学生获得清北自主招生加分，帮助他们圆了清华、北大梦。

2019年辅导多名学生获全国高中联赛一等奖.

在微信公众号及头条号发表高考压轴题及数学竞赛题速解等相关公益文章500多篇,欢迎阅读及转发,期待更多的学生受益.

《林根数学》资料(说明:以下资料随堂使用,不单独提供 )

1.《高考数学全观》（上、下）（高考第一轮）教案及学案

2.《高考数学重观》（高考第二轮）教案及学案

3.《清北数学高观》教案及学案

4.《中考数学微观》教案及学案

5.人教版必修1—5全套教案及学案

练习题：

1990年全国高中联赛冬令营选拔试题：

在筝形ABCD中，AB=AD，BC=DC，经AC、BD的交点O任作两条直线，分别交AD、BC、AB、CD于E、F、G、H,GF、EH分别交

BD于I、J，则有OI=OJ.